Listor / Berzan / Kvantmekanik och osäkerhetsprincipen
Heisenberg's uncertainty principle changed our way to look at the world. It applies everywhere, from small particles to planets. In this study you will see a visualisation of the uncertainty principle, and how it can be approximately derived. And how this discovery has changed our way of seeing the world. The research is based on popular science books as well as famous experiments and scientific articles.
It all started in 1927 when Werner Heisenberg stated that the more precisely the position of some particle is determined, the less precisely its momentum can be known, and vice versa. The results of this study shows that decreasing the width of the slit means that the uncertainty in momentum increases. With practical help from the experiment's trigonometry the equation (h approx Delta x Delta Px) is derived which is approximately what Heisenberg stated as (Delta x Delta p ge frac{h}{4pi}).
When this was first formulated by Heisenberg the majority of peoples way of thinking went from a determenistically world view to a indeterministical. It also is one of the ground pillars to all modern science and technology. After this principle, scientists were forced to leave the old concept that you could calculate what is going to happen at a given time. The only thing we today can say with certainty is what the chance will be that an event shall occur in a given period of time.
Vardagsfysiken vi är vana vid förklarar materia och energi på en skala som är bekant för mänsklig erfarenhet som t.ex. astronomiska kroppar. Denna klassiska fysik används fortfarande till de flesta av våra mätningar idag inom modern vetenskap och teknik. För mätningar av både läget och rörelsemängd på föremål i vår omgivning fungerar den vardagliga fysiken alldeles utmärkt men i partiklarnas värld kan mätosäkerheten inte längre försummas och det uppkommer underliga händelser som den klassiska fysiken inte kan förklara. Man börjar då prata om kvantmekaniska fenomen på mikrokosmisk nivå. Kvantmekanik grundar sig på vetenskapliga principer som beskriver beteendet hos materia och dess växelverkan med energi hos atomer och subatomära partiklar.
Max Planck var den främste upphovsmannen till kvantteorin och hans kvanthypotes i början av 1900-talet förklarade observationer av strålningsintensiteten från värmestrålare.
Baserat på Plancks arbete kom Louis de Broglies fram till att partiklar med rörelsemängden p också kan uppträda som vågor med våglängden (lambda = frac{h}{p}). En del av resultatet till detta blev Heisenbergs obestämdhetsrelation. Heisenberg noterade att Plancks hypotes innebar att ju noggrannare man försöker mäta en partikels läge, desto mindre noggrant kan man mäta partikelns rörelsemängd och omvänt.
Mer specifikt visade Heisenbergs arbete att obestämbarheten i partikelns läge multiplicerat med obestämbarheten i dess rörelsemängd alltid måste vara större än eller lika med Plancks konstant dividerat med 4 pi. Heisenberg är ute och kör i sin bil och blir stannad av polisen. ”Vet du hur fort du körde?” frågade polisen. ”Nej”, svarar Heisenberg ”men jag vet exakt var jag befinner mig!”
Syftet med denna rapport är att förklara hur osäkerhetsprincipen ska tolkas samt skapa en simulering i Scilab där formlerna kan beaktas visuellt för att ge en djupare förståelse för sannolikhetsberäkning inom kvantmekaniken. Eftersom inte tillräcklig matematisk kunskap bistås kommer ej det ursprungliga beviset för osäkerhetsprincipen med matrismatematik härledas, istället mer experimentiella approximationer kommer förklaras och härledas. Dessutom redogöra för hur kvantfysiken och osäkerhetsprincipen påverkat individ och samhälle och hur teorin har utvecklats över tid samt hur den påverkat vår syn att se på världen.
Studien är litteraturbaserad och nedan beskrivs hur artiklar hittats och hur de sedan valts ut efter relevans. Efter detta förklaras termer, förkortningar och variabelnamn som förekommer i rapporten.
För att få en överblick på hur själva osäkerhetsprincipen hängde ihop med kvantmekaniken studerades först kursboken "Heureka! Fysik 3" samt en del populärvetenskapliga artiklar och böcker som bl.a. "Universum i ett nötskal".
När detta studerande var slutfört hade mer vetenskapliga termer och sökord hittats vilket medförde bättre vidare sökningar och då började också sökandet efter mer vetenskapliga artiklar med en liten grund att stå på.
När artiklarna valdes granskades titeln för att de skulle vara relevanta till syftet i denna artikel. Kunde titeln kopplas till syftet lästes abstraktet igenom för att ytterligare undersöka om det fanns någon relevant information att studera i artikeln. Efter detta blev källorna snabbt kvalitetsgranskade och sedan antingen kastade eller redo att studeras.
Tidigare beskrev Newton världen av partiklar med bestämda lägen. Partiklarna hade hitills förklarats av lägen som funktioner av tiden, x(t). Senare förklarade Boltzmann och Maxwell hur Newtons toeri kan förklara partiklar där man inte känner till dess lägen, utan endast med viss sannolikhet vad de kan anta för värden. Om man skulle ge upp Netwtons x(t) funktion helt skulle det betyda att partiklarna inte hade några lägen alls. (1)
1925 begav sig Werner Heisenberg ut till Nordsjön för att återhämta sig från sin svårartade hösnuva. Han hade med sig arbetet han utvecklat i samarbete med Max Born och Niels Bohr. Heisenberg fortsatte arbetet på matrismekaniken som sedan kom att ersätta den gamla kvantteorin med modern kvantmekanik.(1) I artikeln de senare kom att publicera presenterade dem bl.a. kanoniska transformationer, störningsteori och behandling av s.k. degenererade system. De introducerade dessutom kommutationsrelationerna.(2)
Två år senare formulerade Werner Heisenberg det som anses vara en av dagens kvantmekaniska hörnstenar, osäkerhetsprincipen. Han tog emot nobelpriset i fysik 1932 för sina grundläggande bidrag till kvantmekaniken. Den exakta prestationen för priset lät: "for the creation of quantum mechanics".(3)
För att förstå de olika försöken och experimenten krävs en liten kvantmekanisk bakgrund som förklarar partiklarnas dubbelnatur som påvisar både våg- och partikelegenskaper.
Före Louis de Broglies hypotes 1924 betraktades materia som partiklar. Men de Broglie menade att efterom strålning har partikelgenskaper borde partiklar ha vågegenskaper.(4) Enligt denna hypotes som visade sig stämma kan man beskriva en partikel med en våg enligt:
[ lambda = frac{h}{p} = frac{h}{mv} ]
Davidsson och Thompson fick nobelpriset för att genom interferens av partikelstrålar visat hur materia har vågegenskaper.(4) Fysikerna började då se elektronerna runt atomkärnan som en vågrörelse och kvantmekaniken utvecklades.
I princip måste Heisenbergs osäkerhetsprincip stämma överens med alla experiment eftersom han utgick från Louis-Victor de Broglies upptäckt att alla partiklar som har en rörelsemängd, dessutom har en våglängd. Enligt formeln ser vi att ju större massan är desto mindre blir våglängden. Och eftersom Planks konstant är försvinnande liten kommer också all mänsklig erfarenhet från vardagen sakna en mätbar våglängd.
Därför kan det vara bra att demonstrera vad som menas med osäkerhetsprincipen med hjälp av simuleringar.
I följande experiment skjuts elektroner iväg med hjälp av en kanon. Dessa får träffa en enkelspalt vilken har en storlek som motsvarar partikelns dubbla våglängd. Efter enkelspalten kommer elektronerna träffa en skärm och efter ett antal försök kommer ett diffraktionsmönster visa sig. I simuleringen är antal partiklar som får träffa skärmen oändligt vilket förklarar de idealiska graferna.
Fördelen med denna metod att bestämma ett sannolikhetsmönster är dess exakthet med hjälp av datorns beräkningar. Eftersom formlerna är exakta och det inte finns några mänskliga misstag som vid experiment har heller inga problem eller fel uppkommit. I simuleringen användes formeln för intensitet i diffraktionsmönster:
[I = frac{sin(alpha)^{2}}{(0,5*alpha)^{2}}]
Där vinkeln (alpha) är (frac{sin(x)*2pi*d}{lambda})
d = längden på spaltbredden.
(lambda) = våglängden.
x = vinkelns förändring då partikel som går rakt fram har vinkeln 0 grader.
I första försöket är spaltbredden som elektronerna åker igenom väldigt stor i förhållande till partiklarna. Vi får då ett ganska förutsägbart resultat, de flesta elektronerna träffar mitt på skärmen. Intensiteten är störst i mitten, alltså också sannolikheten för partiklarna att åka rakt fram utan förändring i rörelsemängd åt sidorna. Här kan rörelsemängd bestämmas med relativ hög säkerhet men vad händer med positionen? Vi vet att elektronerna som träffar skärmen har åkt genom springen i enkelspalten, dock har vi större ovisshet om dess läge i springan pga. den stora spaltbredden.
begin{figure}[htbp]centeringincludegraphics[scale=.35,trim={0 1cm 0 1cm},clip]{1600.eps}label{fig:1}end{figure}
I andra försöket är spaltbredden mindre och i samma storleksordning som elektronens våglängd. Här är intensitetsspetsen rakt fram inte lika skarp, alltså är sannolikheten mindre för elektronen att åka rakt fram utan förändring i rörelsemängd åt sidorna. Sammanfattningsvis är vi mindre säkra på elektronens böjning efter spalten men mer säkra på elektronens position mellan spalten eftersom bredden är mindre.
begin{figure}[htbp]centeringincludegraphics[scale=.35,trim={0 1cm 0 1cm},clip{800.eps}label{fig:2}end{figure}newpagesubsubsection{Spaltbredd: 400nm}
I tredje försöket är spaltbredden ännu mindre, nu hälften av elektronens våglängd. Här kan elektronens position i enkelspalten mätas relativt exakt eftersom bredden den kan befinna sig i för att ta sig igenom är högt begränsad. Resultatet blir att osäkerheten för rörelsemängdens förändring ökat ännu mer, sannolikheten för att elektronen går (tidigare förutsägbart) rakt fram är åter igen minskat.
begin{figure}[htbp]centeringincludegraphics[scale=.3,trim={0 1cm 0 1cm},clip]{400.eps}label{fig:3}end{figure}
Antag att en elektron passerar en spaltbredd som i simuleringen i föregående kapitel. Spaltbredden är nu mycket liten, det finns alltså nästan ingen osäkerhet i (Delta x). Eftersom sannolikheten att elektronen hamnar någonstans mellan de två närmsta nodpunkterna från centralmaximum kan vi använda villkoret:
[Delta x sin(alpha) = lambda]
Vid små vinklar (då skärmen är på ett långt avstånd från spalten) kommer hypotenusan och närliggande katet vara ungefär lika stora vilket vi utgår ifrån i approximationen hädanefter. Dessutom vet vi (pga. vågpartikel-dualiteten) att det kommer finnas en osäkerhet rörelsemängdens x-led utöver den som finns innan elektronen passerar spalten. Kvoten i förra ekvationen måste vara lika stor som kvoten mellan (Delta Px) och p eftersom vinkeln (alpha) är samma.
[sin(alpha) approx alpha approx frac{lambda}{Delta x} approx frac{Delta Px}{p}]
Sedan hämtas de Broglies uttryck för våglängd och ändrar sambandet till:
[frac{lambda}{Delta x} approx frac{Delta Px}{p} Rightarrow lambda approx frac{Delta x Delta Px}{p} approx frac{h}{p} Rightarrow h approx Delta x Delta Px]
Denna överslagsräkning visar ett ungefärligt samband hur osäkerheten förhåller sig, medan Heisenberg på kvantmekaniska grunder och matrismatematik bevisade det precist år 1927. (5)
I scenariot som följer kommer osäkerhetsprincipen tillämpas på både ett stort och ett litet objekt för att få en insikt över hur olika resultatet blir beroende på vilken skala man tillämpar Heisenbergs princip på. På den kvantmekaniska skalan kommer en elektron med (m = 9.11*10^{-31}) kg observeras och i vår vardagsvärld den lilla spindeln på 1 gram.
Båda objekten rör sig med hastigheten (1mm/s (0,001m/s)).
[Delta x Delta p ge frac{hbar}{2}]
Rörelsemängden motsvarar hastighet x massa ((m*v)) och eftersom hastigheten är konstant är massan det enda som kommer ändras. Nu är syftet att beräkna den minsta osäkerheten man kan uppnå i position ((Delta x)) vid observationen. Då gäller följande:
[Delta x Delta mv = frac{hbar}{2}]
Sambandet kan skrivas om till följande där den enda variabeln som varierar mellan de två objekten är massan (m).
[Delta x = frac{frac{6.626*10^{-34}}{4pi}}{Delta m*0.001}]
Beräkning av osäkerhet för spindelns position med massan 0,001kg:
[Delta x = frac{frac{6.626*10^{-34}}{4pi}}{1.0*10^{-3}*0.001} = 5.27*10^{-29}m]
Beräkning av osäkerhet för elektronens position med massan 9,11*10-31kg:
[Delta x = frac{frac{6.626*10^{-34}}{4pi}}{9.11*10^{-31}*0.001} = 0.058m]
Om man nu jämför de beräknade resultatet för spindelns osäkerhet med storleken på spindeln kan vi lätt göra approximationen att den osäkerheten är försumbar. Relativt spindelns storlek har den ingen mätbar osäkerhet alls eftersom talet är alldeles för litet för att det skulle kunna ha någon betydelse i verkligheten. Om man däremot jämför elektronens storlek med dess osäkerhet i position ser vi att 5,8 cm är en extremt stor osäkerhet.
En lämplig slutsats blir att vi kan bestämma större föremål med väldigt bra nogrannhet och någon hänsyn till Heisenbergs osäkerhetpsprincip på denna skala behöver inte tas.
När man däremot kommer ner till subatomär nivå kan man se stora effekter av osäkerhetsprincipen.
Våg-partikeldualismen (som redan förklarats) säger att en partikel kan beskrivas ha både partikel- och vågegenskaper. När partikeln i simuleringen passerade vågspalten kan man inte tänka sig att den befinner sig på en bestämd position. Utan snarare i ett moln av sannolikhet. Den är överallt som en sannolikhetsvåg fram till en observatör experimentiellt observerat den. Vågen kollapsar då och den beter sig nu som en partikel.(6)
Men vad händer med partikelns rörelsemängd när partikeln observeras? En blind man ska med hjälp av en boll ta reda på var någonstans en apelsin befinner sig. Han kastar då bollen i alla riktningar mot en vägg för att ta reda på apelsinens position. Om bollen inte träffar apelsinen kommer bollen studsa mot väggen och komma tillbaka. Han vet då att apelsinen inte befinner sig där. När han träffar apelsinen kommer bollen inte komma tillbaka och han VISSTE då var apelsinen befann sig men eftersom bollens rörelsemängd fördelats med apelsinen har han nu ingen kunskap om var apelsinen befinner sig efter p.g.a. att bollen knuffat apelsinen.
I verkligheten är apelsinen en partikel. För att kunna observera denna måste man skjuta en foton (boll) mot partikeln för att ta reda på var den befinner sig. Eftersom fotonen också har en våglängd kommer man inte kunna bestämma positionen med mindre än en våglängds osäkerhet. Ju mindre osäkerhet om positionen man försöker mäta desto mindre våglängd på fotonen måste man skjuta. Och ju mindre våglängd fotonen har desto större rörelsemängd har den enligt (p = frac{h}{lambda}).(7)
Ännu en gång kommer vi fram till slutsatsen att ju mindre osäkerhet i position desto större i rörelsemängd och vice versa.
Observatörens effekter omfattar alla typer av händelser som verkar på vårt vanliga mänskliga skala. Om en antropolog försöker få en klar uppfattning om livet i ett primitivt samhälle, men hans eller hennes närvaro upprör samhället som besöks kan observationerna vara mycket missvisande. Men ingen av dessa interaktioner på en sådan skala sker vid nivån som beskrivs av kvantmekanik eller osäkerhetsprincipen. Antropologens osäkerhet går att tas bort eller iallafall minskas med hjälp av ex. övervakningskameror till skillnad från osäkerheten i kvantmekaniken där förbättrade mätinstrument inte spelar någon roll då osäkerheten aldrig kommer under (frac{hbar}{4pi}).
Uttrycken "kvantsprång" och "kvant hopp" har blivit vanliga sätt att tala om saker och ting. Vanligtvis människor har för avsikt att beskriva något som innebär en stor förändring som sker under en kort tidsperiod. Uttrycken syftar på att en elektron hoppar från en energinivå runt atom kärna till en annan. Så en stor förändring är verkligen inget "kvantsprång", men en plötslig liten förändring från en domän till en annan är.
Den franska vetenskapsmannen Laplace hävdade i början av 1800-talet att universium var fullständigt förutbestämt (deterministiskt). Han menade att med tillgång till alla naturvetenskapliga lagar (som gav möjlighet att förutsäga) skulle man kunna bestämma alla tillstånd vid en viss tidpunkt, lika lätt framtid som i nutid. Han menade dessutom att lagarna även styrde över människans beteende vilket många människor gjorde motstånd till eftersom Gud givit de fri vilja.(7)
Ända fram till 1900-talet trodde man på detta antagande att universum är deterministiskt. Men sedan kom de första indikationerna att synen på universum var felaktig, bl.a. av lord Rayleigh, sir James och Max Planck. Men det var inte förrän 1926, när Werner Heisenberg publicerade osäkerhetsprincipen, som antagandet om ett deterministiskt universum lämnades helt. Detta var slutet på Laplaces dröm om en naturvetenskaplig totalteori. Från 1920-talet tvingades man att använda teorier som kunde förutsäga att ett experiment har en viss sannolikhet att få ett visst resultat. Men man skulle aldrig kunna göra som tidigare; bestämma specifika resultat vid enstaka mätningar. Många var emot denna nya vetenskap om obestämbarhet och slumpmässighet, bl.a. Einstein med hans uttalande: "Gud spelar inte tärning"(7).
Men med tanke på att kvantmekaniken stämde in perfekt både matematiskt och experimentiellt tvingades de flesta forskare acceptera kvantmekaniken. Det har varit en extremt framgångsrik teori som utgör en av grundvalarna för i princip all modern teknik och naturvetenskap. De huvudsakliga kompoenterna i elektroniska apparater som datorer och TV osv. är transistorer och integrerade kretsar vilka i sin tur styrs av kvantmekaniken. Kvantmekaniken utgör dessutom grunden i modern kemi och biologi.(7)
Det finns en del det återstår att implementera kantteorin, nämligen tillsammans med gravitationskraften. Man pratar om att förena fysikens fyra huvudkrafter och alla lagar de omfattar med varandra. Problem uppstod vid föreningen av den klassiska allmänna relativitetsteorin och den kvantmekaniska osäkerhetsprincipen. Det uppstod oändligheter som inte tog ut varandra rörande hastigheter och massa. Idag pratar man istället huvudsakligen om strängteori. Det stora intresset för dessa supersträng-teorier ligger i hoppet att finna en teori som förklarar allting.(7)
Utifrån simuleringen på det kända enkelspaltsexperimentet kan vi dra slutsatsen att ju bättre man försöker bestämma positionen på partikeln (när spaltbredden är liten) desto större osäkerhet förekommer på dess rörelsemängd efter den rört sig genom spalten.
Heisenberg kom fram till formeln för obestämbarhet
(Delta x Delta p ge frac{h}{4pi})
med hjälp av enbart matris-matematik men genom mer praktiska härledningar har vi kommit fram till ett mer approximativt resultat. Men eftersom Plancks konstant är ypperligt liten är det en helt okej felmarginal.
En slutsats jag nu kan dra från tankeexperiment med spindelberäkningen är att osäkerheten inte har någon betydelse för vardagsföremål eftersom deras massa är alldeles för stor för att våglängden ska bli märkbar.
Utifrån liknelsen med bollen som foton kan slutsatsen dras att ju större nogrannhet man vill ha på en partikels position, desto mindre våglängd måste fotonen ha. Om våglängden minskar kommer energin öka vilket leder till att obestämbarheten hos partikelns rörelsemängd efter observationen kommer öka.
Laplaces förhoppningar om determinismen kan inte förverkligas på grund av kvantmekanikens osäkerhet säger att vissa storheter inte kan bestämmas med fullständig precesion. Bland annat när det gäller storhetsparen position och hastighet. Partiklar har dessutom inte bestämda definierade lägen utan uppför sig både som vågor och partiklar fram till man mäter dom.
Även om man lyckas förena fysikens lagar till en enda teori som kan beskriva hela universum och alla dess händelser återstår fortfarande frågan vem det är som skapat universum och på det sättet att det kan beskrivas med en uppsättning av regler och ekvationer? Eller kommer formeln som beskriver allting vara så avancerad att den förklarar sin egen existens? Och om det nu finns en skapare av universum, ekvationerna och reglerna, vem har då skapat skaparen?
(1) http://www.fysik.su.se/~ingemar/kvant.pdf, 2014-03-15
(2) http://www.ingvet.kau.se/juerfuch/kurs/kvak/lecb/lec5box.pdf, 2014-03-15
(3)http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1932/heisenberg-bio.html, 2014-04-03
(4)http://www.mattliden.fi/gym/images/fbfiles/files/Fy_08_Lektion_3_4_10_11.pdf, 2014-04-03
(5) Heureka! Fysik 3, Alphonce, Bergström, Gunnvald, Ivarsson, Johansson, Nilsson, 2013, Natur och Kultur
(6) http://arxiv.org/pdf/1109.3536v3.pdf, 2014-04-20
(7) Kosmos en kort historik, Stephen Hawking, 1997, Rabén Prisma
Univerum i ett nötskal, Stephen Hawking, 2002, Prisma
http://www.fysik.su.se/~milstead/teaching/kvantgrund/2010/lec03.pdf, 2014-04-05
Understanding Quantum Mechanics, Lars-Göran Johansson, 1992, Almqvist o Wiksell International Stockholm
Publiceringsdatum: 2014-05-13