Listor / Berzan / Matte 5 - Sammanfattning

Matte 5 - Sammanfattning

Sammanfattning som omfattar den första bokhalvan av matte-kursen 5 på gymnasienivå

Lådprincipen

- Om n+1 föremål placeras i n lådor, så måste åtminstonde en låda innehålla två eller fler av föremålen. Om n*k+1 föremål placeras i n lådor, så måste åtminstonde en låda innehålla k+1 eller fler av föremålen.

Multiplikationsprincipen

- Om ett första val kan ske på p sätt och ett andra val kan göras på q sätt, så kan de båda valen göras på p*q sätt. Det första valet får inte påverka det andra valet.

Additionsprincipen

- Om man ska välja 1 föremål från en grupp med p olika föremål eller från en grupp med p olika föremål, så kan detta ske på p+q sätt.

Permutationer

- Antalet permutationer (ordnade urval) av n element är n! (n-fakultet). Antalet permutationer (ordnade urval) av k element bland n element är P(n,k)= n!/(n-k)!

Kombinationer

- Antalet kombinationer (oordnade urval) av k element bland n element (n//k) = n!/(k!(n-k)!

Sannolikheter

- vid likformig sannolikhetsfördelning gäller P(H)=antal gynnsamma utfall/antalet möjliga utfall.

Binomialsatsen och Pascals formel

Generalisering


Mängdsymboler

• P, mängden av alla primtal: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …}
• N, mängden av alla naturliga tal: N = {0, 1, 2, 3, 4, …} (ibland: {1, 2, 3, 4, …})
• Z, mängden av alla heltal: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
• Q, mängden av alla rationella tal: Q = { a⁄b : a, b ∈ Z, b ≠ 0}
• R, mängden av alla reella tal
• C, mängden av alla komplexa tal: C = {a + bi : a, b ∈ R}
• H, mängden av alla kvaternioner: H = {a + bi + cj + dk : a, b, c, d ∈ R}

Mängdoperationer

- Unionen av mängderna A och B är den mängd som består av de element som tillhör minst en av A och B

Exempel {1,2,3} =/ {3,4,5} = {1,2,3,4,5}

Två mängder som saknar gemensamma element kallas disjunkta.

Differensen av mängden A och mängden B är den mängd, som består av de element i A som inte tillhör B. Differensen betecknas AB.

Talteori

- De positiva heltalen större än 1 kan delas in i primtal och sammansatta tal. Ett primtal är bara delbart med 1 och sig självt Övriga tal är sammansatta tal. De kan entudogt faktoriseras i primfaktorer. Vid undersökning om N är ett primtal räcker det att pröva delbarhet med primtal med primtal till och med √N.

Modulusoperatorn

- 34(mod7) = 6 betyder att 34/7 ger resten 6.

SGF och MGM

12 = 2*2*3

18 = 2*3*3

Största gemensamma faktor till 12 och 18 skrivs SGF(12,18) = 6. Minsta gemensamma multipel till 12 och 18 skrivs MGM(12,18) = 36.

Talföljder

- En ändlig eller oändlig följd av tal uppställda i en bestämd ordning och enligt en bestämd regel kallas en talföljd.

Rekursionsformel

- Talar om hur nästa tal i en talföljd ska bildas utifrån föregående.

Aritmetisk talföljd

- Differansen mellan ett tal och det närmaste föregående konstant. Summan av talen i en aritmetisk talföljd är produkten av antalet termer och medelvärldet av första och sista termen.

Geometrisk talföljd

- Kvoten mellan ett tal och det närmaste föregående konstant

Induktionsbevis

1. Visa att formeln gäller för enklaste möjliga fall, t ex för n=1.

2. Anta att formeln gäller för n=p. Man bevisar sedan att formeln med detta antagande gäller även för n=p+1.

3. Av punkterna 1 och 2 följer formeln gäller n = 1,2,3, ...

Publiceringsdatum: 2013-12-02